1.2.1 圆的标准方程（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 [学习目标]　1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用． 知识点一　圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2． 下列方程分别表示什么图形？ (1)(x－1)2＋(y－1)2＝0； (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2； (3)x＝． 解析：　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的是到点(1，1)的距离等于0的点的集合，显然只有(1，1)这一点，即(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1，1)． (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，该方程表示圆心为(－2，3)，半径为4的圆． (3)将x＝两边平方得x2＋y2＝1，但由于x＝≥0， 因此x＝对应的图形是圆x2＋y2＝1中满足x≥0的半圆． 判断方程表示的图形时，先将方程化为圆的标准方程的形式，并注意确定变量的取值范围，然后根据圆的定义判断方程表示的图形．　　 即时练1．右图表示的方程可以是(　　) A．(x＋y－1)·(x2＋y2－1)＝0 B．·(x2＋y2－1)＝0 C．(x＋y－1)·＝0 D．·＝0 C　[由题图可知曲线的方程可以是x2＋y2＝1或在x2＋y2>1的条件下有x＋y－1＝0．故选C．] (链接教材P29例3)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程． 解析：　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y＝x． 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 确定圆的标准方程的方法 (1)待定系数法：建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程； (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　 即时练2．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解析：　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8． (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25． 知识点二　点与圆的位置关系 对于点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 ①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内； ②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上； ③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外． 已知两点P(－5，6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上、在圆内还是在圆外． 解析：　由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0，1)． 半径r＝|PQ|＝×＝5． ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50． ∵|AM|＝＝<r， ∴点A在圆内． ∵|BM|＝＝＝r， ∴点B在圆上． ∵|CM|＝＝>r， ∴点C在圆外． 判定点与圆的位置关系的方法 (1)判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系； (2)可将该点坐标代入圆的方程判断．　　 即时练3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________． 解析：　∵(3，)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋()2>16， ∴a>7． 答案：　(7，＋∞) 即时练4．判断四点A(4，2)，B(5，0)，C(3，2)，D(3，6)是否在同一个圆上． 解析：　∵BC的中点为(4，1)，kBC＝－1， ∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3． CD的垂直平分线方程为y＝4． 由得设过B，C，D三点的圆的圆心为O，则O(7，4)，半径r＝|OB|＝＝， ∴经过B，C，D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y－4)2＝20． ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A点不在此圆上，因此A，B，C，D四点不在同一个圆上． 1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　) A．π B