1.1.6.2 两条平行直线间的距离公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

第2课时　两条平行直线间的距离公式 知识点　两条平行直线间的距离公式 (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． (链接教材P24例24)(1)两条平行线4x＋3y＋3＝0与8x＋6y－9＝0的距离为(　　) A． B． C． D． (2)已知直线l1：x＋2y＋a＝0，l2：2x＋4y＋1＝0相互平行，且l1，l2间的距离为，则a的值为(　　) A． B．6 C．或－ D．6或－4 解析：　(1)将直线8x＋6y－9＝0化为4x＋3y－＝0，所以两条平行直线间的距离为＝，故选D． (2)l2：2x＋4y＋1＝0即x＋2y＋＝0，所以l1，l2间的距离为＝，解得a＝或a＝－．故选C． 答案：　(1)D　(2)C 使用两平行直线间的距离公式的前提 (1)把直线方程化为一般式； (2)两个直线方程中x，y的系数必须分别对应相等．　　 即时练1．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为(　　) A．－1 B．19 C．－1或19 D．1或－19 C　[由两平行线间的距离公式得，d＝＝， 所以|c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．故选C．] 即时练2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　) A．2 B．4 C． D． D　[由于两条直线平行，所以1×3＝a×(a－2)， 解得a＝－1或a＝3． 当a＝3时，两直线方程都为x＋3y＋6＝0，此时两直线重合，不合题意． 当a＝－1时，两直线方程为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0， 所以两直线的距离为＝．故选D．] 求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解析：　设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0．由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝，即|C－4|＝|C＋2|， 解得C＝1． 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0． 由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解； (2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．　　 即时练3．已知A(－1，3)，B(3，5)，则与直线AB平行且距离为2的直线方程为(　　) A．x－2y＋17＝0 B．x－2y－3＝0 C．x－2y＋3＝0或x－2y－17＝0 D．x－2y－3＝0或x－2y＋17＝0 D　[已知A(－1，3)，B(3，5)，所以直线AB的斜率k＝，所以直线AB的方程为y－5＝(x－3)，整理得x－2y＋7＝0， 设与直线AB平行的直线方程为x－2y＋c＝0， 利用平行线间的距离公式：＝2，解得c＝－3或17． 故直线的方程为x－2y－3＝0或x－2y＋17＝0．] 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 解析：　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1，0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等， 得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0． 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 得a＝9或a＝－3， 同理得b＝9或b＝－3． ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0． 利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　　 即时练4．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 解析：　依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3． 答案：　3 解析法的应用 1．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的