1.1.6.1 两点间的距离公式　点到直线的距离公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式　点到直线的距离公式 [学习目标]　1．掌握两点间距离公式并会应用．2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．3．初步掌握用解析法研究几何问题． 知识点一　两点间的距离公式 (1)平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝． (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0，0)与任一点A(x1，y1)的距离|OA|＝． ②当AB∥x轴时，|AB|＝|x2－x1|． ③当AB∥y轴时，|AB|＝|y2－y1|． (链接教材P22例22)(1)若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则|AB|的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 (2)以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 解析：　(1)线段AB的中点为M， 设A(a，0)，B(0，b)⇒M(，)，所以＝3，＝4⇒a＝6，b＝8， 所以A(6，0)，B(0，8)⇒|AB|＝＝10．故选A． (2)|AB|＝＝2， |BC|＝＝4， |AC|＝＝2， |AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以三角形ABC是直角三角形．故选C． 答案：　(1)A　(2)C 两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决．　　 即时练1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5，则a等于(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．其他值 C　[∵点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5， ∴＝5， 解得a＝1或a＝－5．故选C．] 即时练2．在平面直角坐标系xOy中，x轴上的动点R到两个定点A(0，1)，B(3，3)的距离之和的最小值为________． 解析：　如图，设点A(0，1)关于x轴的对称点为A′(0，－1)，则AR＝A′R， 所以AR＋BR＝A′R＋BR≥A′B， 所以动点R到两个定点A(0，1)，B(3，3)的距离之和的最小值为A′B的长，因为|A′B|＝＝5， 所以x轴上的动点R到两个定点A(0，1)，B(3，3)的距离之和的最小值为5． 答案：　5 知识点二　点到直线的距离公式 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0)． (链接教材P23例23)求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4． 解析：　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝． (2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8． (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1． 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．　　 (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 即时练3．求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程． 解析：　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知： d＝＝＝． 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6． 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0． 对称问题 (1)点关于点对称 点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)． (2)直线关于点对称 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程． (3)点关于直线对称 点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称的对称点(x2，y2)可由 得出． (4)直线关于直线对称 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式可求出直线l2的方程． 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得： (1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大； (2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小． 解析：　(1)如图1所