1.1.5 两条直线的交点坐标（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

1．5　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系． 知识点　两直线的位置关系与方程组的解 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0． (1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的公共解；如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是两直线的交点． (2)方程组 ①有唯一解⇔l1与l2相交； ②有无穷多组解⇔l1与l2重合； ③没有解⇔l1与l2平行． 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)直线l1：5x＋4y－2＝0，直线l2：2x＋y＋2＝0； (2)直线l1：2x－6y＋3＝0，直线l2：y＝x＋； (3)直线l1：2x－6y＝0，直线l2：y＝x＋． 解析：　(1)两直线方程组成方程组解得 所以直线l1与l2相交，且交点坐标为(－，)． (2)两直线方程组成方程组 ②×6整理得2x－6y＋3＝0． 因此，①和②表示同一条直线，l1与l2重合，有无数个交点． (3)两直线方程组成方程组 ②×6＋①，整理得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2． 利用两直线方程组成的方程组解的个数来判断两直线的位置关系：当方程组无解时，两直线平行；当方程组仅有一组解时，两直线相交；当方程组有无数组解时，两直线重合．　　 除此之外，还可以利用两直线的斜率来判断两直线是否相交：若两直线斜率都存在且斜率不相等，则两直线相交；若两直线一条斜率存在，另一条斜率不存在，则两直线相交． 即时练1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定，与m，n取值有关 C　[∵直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2， 直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－， ∴k1≠k2，k1k2≠－1，两直线相交但不垂直．] 直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值． 解析：　解方程组得 ∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0， 得－2a＋4＋8＝0， ∴a＝6． 解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础．　　 即时练2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为(　　) A．(－4，－3) B．(4，3) C．(－4，3) D．(3，4) C　[由得 故两直线的交点坐标为(－4，3)．] 即时练3．已知直线l1：y＝2x＋m＋2，l2：y＝－2x＋4的交点在第二象限，则m的取值范围是________． 解析：　由得 ∵两直线的交点在第二象限， ∴即∴m>2． 答案：　(2，＋∞) 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　) A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1 C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2 D　[为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1． ②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1． ③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1． 当a＝1时，l1，l2与l3三线重合；当a＝－1时，l1，l2平行． ④若三条直线交于一点，由解得 将l2，l3的交点(－a－1，1)的坐标代入l1的方程， 解得a＝1(舍去)或a＝－2． 所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2．故选D．] (1)将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键； (2)在分类讨论时，不能遗漏； (3)此题是从结论的反面即求出不能围成三角形的条件入手解决的．　　 即时练4．一条直线l被两条直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截得的线段中点恰好是坐标原点，求直线l的方程． 解析：　法一：因为所求直线l过坐标原点，且x＝0与两直线交点的线段的中点不是坐标原点，所以可设l：y＝kx． 由得 由得 又∵直线l被两直线所截线段中点恰好是坐标原点， ∴＋＝0， 解得k＝－． 故直线l的方程是y＝－x，即x＋6y＝0． 法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)，则点P关于(0，0)的对称点是(－x0，4x0＋6)， 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0， 解得x0＝－． ∴P点坐标为． ∴直线l的方程为y＝x，即x＋6y＝0． 直线方程的设法 1．经过定点P0(x0，y0)的直线系方程可