1.1.4 两条直线的平行与垂直（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

1．4　两条直线的平行与垂直 [学习目标]　1．掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．2．能利用两条直线平行或垂直进行实际应用． 知识点一　两条直线平行 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2． 2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． (链接教材P17例16)根据下列条件，判断直线l1与直线l2是否平行： (1)l1经过点A(7，－3)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(－2，1)； (2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； (3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)． 解析：　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kCB＝＝－≠－，故l1∥l2． (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2． 已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a为(　　) A．3 B．－2 C．3或－2 D．以上都不对 A　[直线l1：ax＋3y－1＝0的斜率为k＝－，一定存在斜率； 直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0的斜率为k＝－， 因为两直线平行，所以－＝－，解得a＝3或a＝－2， 当a＝3时，l1：3x＋3y－1＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，不重合，平行； 当a＝－2时，l1：－2x＋3y－1＝0，l2：2x－3y＋1＝0，直线重合，所以a＝－2舍掉．故选A．] 已知两直线平行求方程中的参数值的方法 对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况．　　 即时练1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 A　[由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8．故选A．] 即时练2．直线mx－y－＝0与直线2x－my－2＝0平行，则m的值是________． 解析：　∵直线mx－y－＝0与直线2x－my－2＝0平行， ∴＝≠， ∴m＝－． 答案：　－ 知识点二　两条直线垂直 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 2．当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0． (链接教材P18例18)判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． 解析：　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2． (3)由题意得l1的倾斜角为90°，所以l1⊥x轴． 因为直线l2的斜率k2＝＝0， 所以l2∥x轴．所以l1⊥l2． a＝－3是直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3， 所以a＝－3是直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直的充分不必要条件．故选A．] 已知两直线垂直求方程中的参数值的方法 一是根据k1k2＝－1建立方程求解，但需注意讨论斜率不存在的情况；二是直接利用A1A2＋B1B2＝0求解．　　 即时练3．已知a∈R，直线ax＋2y－1＝0与直线(a＋1)x－2ay＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．－3 B．3 C．0或3 D．0或－3 C　[由a(a＋1)＋2(－2a)＝0，得a＝0或a＝3．]