1.1.3.2 直线方程的两点式　直线方程的一般式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

第2课时　直线方程的两点式　直线方程的一般式 [学习目标]　1．掌握直线方程的两点式、截距式方程．2．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化，了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系． 知识点一　直线方程的两点式 直线l经过A(x1，y1)和B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则这条直线的方程可以写为＝，该方程称为直线方程的两点式． (链接教材P12例9)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解析：　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得＝， 即2x＋5y＋10＝0． 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0． (2)设BC的中点为M(x0，y0)， 则x0＝＝，y0＝＝－3． ∴M， 又BC边上的中线经过点A(－3，2)， ∴由两点式得＝， 即10x＋11y＋8＝0． 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0． 两点式方程应用的注意事项 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　 即时练1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程． 解析：　由于直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0． 综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 知识点二　直线方程的截距式 通常，称方程＋＝1(其中ab≠0)为直线方程的截距式．其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距)． 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解析：　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0． 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．　　 即时练2．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 B　[直线在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为－4，因此截距之和为－1．] 即时练3．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程． 解析：　设直线方程的截距式为＋＝1．则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0． 知识点三　直线方程的一般式 1．直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线方程的一般式 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式． (链接教材P13例11)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1． 解析：　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)， 整理为一般式方程得x－y＋3－5＝0． (2)由两点式方程得＝， 整理为一般式方程得2x＋y－3＝0． (3)由截距式方程得＋＝1， 整理为一般式方程得x＋3y＋3＝0． 求直线一般式方程的策略 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．　　 即时练4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为______________；截距式方程为_____