1.1.3.1 直线方程的点斜式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 [学习目标]　1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．2．了解直线在y轴上截距的概念以及斜截式与一次函数的关系． 知识点一　直线方程的点斜式 1．直线l的方程 如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4)． 解析：　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x＝－1． (4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)． ∴斜率k＝＝－5． 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 求直线的点斜式方程的思路 　　 [提醒]　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程． 即时练1．若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为150°； (2)平行于x轴； (3)垂直直线m：y＝x＋2． 解析：　(1)直线的斜率k＝tan 150°＝－， 所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)， 即方程为y－1＝－(x－2)． (2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1． (3)∵km＝，km·kl＝－1，∴kl＝－3． 即直线l的方程为y－1＝－3(x－2)． 知识点二　直线方程的斜截式 直线l经过点(0，b)且斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋b，该方程称为直线方程的斜截式，其中b是直线l在y轴上的截距． 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． 解析：　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5． (2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2． (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3． 直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特征明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．　　 即时练2．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程． 解析：　∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝． ∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝x－5． 已知直线l经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程． 解析：　由题意可知，直线l与两坐标轴不垂直，即直线斜率存在，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)， 令x＝0，得y＝2k＋3， 令y＝0，得x＝－－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ＝4， 即(2k＋3)＝±8． 若(2k＋3)＝8， 则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解； 若(2k＋3)＝－8， 则整理得4k2＋20k＋9＝0， 解之，得k＝－或k＝－． 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0． 用斜率之前一定要说明斜率存在，否则就要分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论，这是一个非常典型的分类讨论问题．　　 即时练3．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的取值范围是________． 解析：　由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则kOA＝2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件． 答案：　[2，＋∞) 与截距有关问题 直线在y轴上的截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数．当直线l与y轴正半轴相交时，截距b>