1.1.1 1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 [学习目标]　1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． 规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 范围：倾斜角α的取值范围为[0，π)． 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论常见情形有：(1)0°角；(2)锐角；(3)90°角；(4)钝角． 即时练1．如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° D　[由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．] 即时练2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C　[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．] 知识点二　直线的斜率 (1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)． (2)直线的斜率表示直线的倾斜程度． (链接教材P4例1)(1)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； (2)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率． 解析：　(1)直线AB的斜率kAB＝＝． (2)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝． 利用斜率公式求直线斜率的注意事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；　　 (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 即时练3．经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是(　　) A．4 B．3 C．1或3 D．1或4 B　[由＝，解得m＝3．] 即时练4．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率． 解析：　kAB＝＝0； kAC＝＝－1； 因为xB＝xC＝1，所以直线BC的斜率不存在． 知识点三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α(其中α≠)，图象如图所示． 当α∈时，斜率 k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈(，π)时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． (2)若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． (链接教材P6例4)(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率； (2)已知直线l的一个方向向量是(，1)，求该直线的斜率． 解析：　(1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝，k2＝tan 135°＝－1． (2)直线l的斜率k＝＝． 1．已知直线的方向向量v＝(m，n)时，可利用k＝来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在．　　 2．利用公式k＝tan α(α≠)求直线的斜率时， 要注意熟记一些特殊角的正切值． 倾斜 角α 0 π π π 斜率k 0 1 － －1 － 即时练5．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________． 解析：　设直线l，l′的倾斜角分别为α，β，则tan α＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，所以β＝α＋60°，所以直线l′的斜率为k＝tan(α＋60°)＝＝＝－． 答案：　－ 即时练6．若直线l的一个方向向量为v＝(3，7)，则直线l的斜率k＝________． 解析：　k＝． 答案：　 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P