1.2.3 直线与圆的位置关系（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

2．3　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．3．会求圆的弦长、切线方程以及有关最值问题，提升数学运算素养． 知识点　直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断 方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 (链接教材P33例6)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 解析：　(法一：代数法) 由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0． ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0， ∴该方程组有两组不同的实数解， 即直线l与圆C相交． (法二：几何法) 圆心(7，1)到直线l的距离为d＝＝2．∵d<r＝6，∴直线l与圆C相交． 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　 即时练1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 C　[直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．] 即时练2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 C　[由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．] (链接教材P33例7)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m＝________． (2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 解析：　(1)已知圆的圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到已知直线的距离d＝＝，由已知得d＝r，即＝1，解得m＝±． (2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k， 则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0． 圆心(2，3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0． 答案：　(1)±　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．　　 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 3．求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 即时练3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D　[圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9．] 即时练4．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________． 解析：　如图所示，S四边形PAOB＝2S△POA．OA⊥AP，OA＝2， 所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA| ＝2 ＝2． 为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离： |OP|min＝＝2． 故所求最小值为2＝8． 答案：　8 如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 解析：　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝＝＝3． 因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x