专题10 最短路径问题-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 专题10 最短路径问题 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故答案为：A． 【思路引导】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。 2．（2分）（2022春•定海区期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【思路引导】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可． 【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， 于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故C选项符合题意， 故选：C． 3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【思路引导】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，可证得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得结论． 【完整解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图， 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∴∠AE′F′＝65°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， ∴∠E′B′G＝∠E′BG， ∵∠BAC＝50°， ∴∠AB′F′＝40°， ∴∠ABE＝40°， ∴∠BE′F′＝50°， ∴∠AE′B＝115°． 故选：B． 4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【完整解答】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP， ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故答案为：D． 【思路引导】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，从而求出∠D+∠G＝=∠C=50°，有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，从而得出∠GPN+∠DPM＝50°，根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求