专题09 含30°角的直角三角形-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编 专题09 含30°角的直角三角形 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 一、选择题(共10题；共20分) 1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【完整解答】解：连接BE， ∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点， ∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°， ∵EF⊥AB， ∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°， ∴BE=DE， 在Rt△BEF中，EF=1， ∴BE=2EF=2， ∴BE=DE=2， ∴DF=EF+DE=3， 故答案为：C. 【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=3 2．（2分）（2021八上·平阴期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3 【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90°，AB=8，∠B=30°， ∴AC=AB=×8=4， ∵点P是BC边上的动点， ∴4＜AP＜8， ∴AP的值不可能是3.5． 故答案为：A． 【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=AB=4，根据垂线段最短得出AP的最小值，然后得出AP的范围，即可判断. 3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【完整解答】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时的值最小， ∵为的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD=PC， ∴=BD， ∵，， ∴， 故答案为：A． 【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC，再求出=BD，最后求出BD的值即可。 4．（2分）（2021八上·海淀期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【完整解答】解：是等边三角形， ， 故答案为：C 【思路引导】先求出∠C=60°，再求出∠DEC=90°，最后计算求解即可。 5．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【完整解答】解：∵DE⊥AB， 则在△AED中，∵∠D=30°， ∴∠DAE=60°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，∠BAC=60°， ∴∠B=30°， 在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2， ∴BF=4， 连接AF，∵DE是AB的垂直平分线， ∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°， ∵∠BAC=60°， ∴∠DAF=30°， ∵∠D=30°， ∴∠DAF=∠D， ∴DF=AF=4， 故答案为：B． 【思路引导】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。 6．（2分）（2021八上·西峰期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【完整解答】解：∵，AD是的中线， ∴，，. ∵AE是的角平分线， ∴. ∵， ∴， ∴. 在中，， ∴. 故答案为：B. 【思路引导】利用等腰三角形三线合一的性质和三角形的内角和定理求出∠B、∠C、∠BAD，∠CAD的度数；再利用角平分线的定义求出∠DAE，∠EAB的度数，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠F的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长. 7．（2分）（2021八上·无棣期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【完整解答】解：∵ △ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°， ∵ AE