4.2.1.1 等差数列的概念及通项公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.4.掌握等差数列的判断与证明方法． 知识点一　等差数列的概念 [问题导引]　一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差为常数，是否可以说此数列是等差数列？ 提示：　不可以．因为这些常数可能不同，应强调“同一个常数”． 等差数列的定义 　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． [点拨]　对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件． (3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*. 类型一　等差数列定义的简单运用 (链接教材P15 练习1)判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． 学生用书第10页 (1)2，3，5，8，12，…； (2)7，7，7，…； (3)1，－1，1，－1，…； (4)8，7，7，6，6，…. 解析：　由等差数列的定义可知，数列(1)、(3)不是等差数列，因为从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数；数列(2)、(4)是等差数列，公差分别是0，－. 准确把握等差数列的概念，特别要注意定义中“每一项”和“同一个”这两个关键词． 即时练1.(多选)下列数列中是等差数列的有(　　) A．－10，－12，－14，－16，－18 B．－2，－1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．1，2，2，2，2 ABC　[A中数列的公差为－2，是等差数列； B中数列的公差为1，是等差数列； C中数列的公差为3，是等差数列； D中，2－1＝1，2－2＝0，2－2＝0，2－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列．故选ABC.] 知识点二　等差中项 [问题导引1]　任何两个数都有等差中项吗？ 提示：　任何两个数都有等差中项． [问题导引2]　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？ 提示：　若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． 等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即2A＝a＋b． [点拨]　(1)两个数的等差中项本质上为两个数的算术平均数． (2)等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：an＋1＋an－1＝2an(n≥2，n∈N*). (3)巧设未知量：若三个数成等差数列，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d(其中d为公差)；若四个数成等差数列，可设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(其中2d为公差). 类型二　等差中项及应用 (链接教材P15 练习2)(1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A． B． C． D． (2){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：　(1)a，b的等差中项为×(＋)＝×(－＋＋)＝.故选A. (2)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.故选C. 答案：　(1)A　(2)C 已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 学生用书第11页 证明：　因为，，成等差数列， 所以＝＋，即2ac＝b(a＋c). 因为＋＝＝＝＝＝， 所以，，成等差数列． 等差中项的应用方法 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). 即时练2.(2022·河南省郑州市期中)若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 C　[因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.故选C.] 即时练3.(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与