4.3.1.2 等比数列的性质及应用（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 [学习目标]　1.运用等比数列的概念及通项公式，能推导出等比数列的性质，并能简单应用.2.运用等比数列的概念及通项公式，能够解决等比数列的判断与证明问题，并能解决简单的数学问题与实际问题． 知识点一　等比数列的性质 [问题导引1]　类比等差数列的性质，你能否得出等比数列的相似的性质呢？ 提示：　数列{an}是等比数列，则①an＝amqn－m，②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，若m＋n＝2p，则am·an＝a.③ak，ak＋m，ak＋2m成等比数列，等等． [问题导引2]　利用等比数列的性质解题和利用通项公式解题相比，有何优点？ 提示：　(1)用等比数列的性质解题快捷方便，可简化计算；(2)有些问题不能确定a1，q，要采用整体思想求解． 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*). 2．“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． 3．等比数列的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 4．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． [点拨]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件． 类型一　等比数列的性质的应用 (链接教材P31练习5)(1)在正项等比数列{an}中，若a1a9＝64，a4＋a6＝20，则an＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2n－2 B．28－n C．2n－2或28－n D．22－n或2n－2 (2)(2022·辽宁省沈阳市期中)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．±5 解析：　(1)因为在等比数列{an}中，a1a9＝64，所以a4a6＝a1a9＝64， 所以解得或当a4＝4，a6＝16时，an>0， q2＝＝4，所以q＝2，a1＝＝，所以an＝×2n－1＝2n－2； 当a4＝16，a6＝4时，an>0，q2＝＝，所以q＝，a1＝＝128， 所以an＝128×()n－1＝28－n，综上所述：an＝2n－2或an＝28－n.故选C. (2)方法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50， 所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5.故选A. 方法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5.故选A. 答案：　(1)C　(2)A 学生用书第35页 1．解答等比数列问题的基本方法——基本量法 (1)基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解． (2)优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． 2．利用等比数列的性质解题 (1)基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 即时练1.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 解析：　由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5. 令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20， 则2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln (a1a20)＝20ln (a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50. 答案：　50 即时练2.在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________． 解析：　因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213， 又因为a3＝1