4.3.1.1 等比数列的概念及通项公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

4.3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念.2.根据等比数列的定义能推导出等比数列的通项公式，并能够运用等比数列的通项公式解决简单的数学问题.3.体会等比数列与指数函数的关系． 知识点一　等比数列的概念 [问题导引]　类比等差数列，如何判断一个数列是否为等比数列？用符号语言如何表示？ 提示：　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．用符号＝ q(或＝q(n≥2))表示． 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0.) [点拨]　 对等比数列概念的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒． (2)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列．当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列． (3)若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n＞3，n∈N*)项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列． (4)由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，且公比q≠0. (5)不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1. 类型一　等比数列定义的简单应用 (链接教材P31练习1)以下条件中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选A.] (1)准确把握等比数列的概念，特别要注意定义中“每一项”和“同一个”这两个关键词． (2)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列． 学生用书第30页 即时练1.若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是(　　) A．公比为2的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公差为2的等差数列 D．公差为的等差数列 A　[数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)， 即{·a2n}是公比为2的等比数列．故选A.] 即时练2.(多选)下列关于等比数列的叙述正确的是(　　) A．等比数列至少含有三项 B．常数列一定为等比数列 C．等比数列的首项和公比都不能为零 D．若数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则数列为等比数列 AC　[由等比数列的概念知AC正确，D错误，B中常数若为零则不是等比数列．故选AC.] 知识点二　等比中项 [问题导引]　任意两个实数a，b是否都有等比中项？等比中项是否唯一？ 提示：　只有当ab＞0时，a，b才存在等比中项；等比中项不唯一，此时a，b的等比中项为±. 等比中项 三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，即G2＝ab． [点拨]　(1)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0，0，1不成等比数列．因此“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件． (2)等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数． 类型二　等比中项及应用 (1)(2022·湖北省恩施市期末)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A．6 B．－6 C．±6 D．±12 (2)(多选)(2022·山东省枣庄市期中)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3 B．b＝－3 C．ac＝9 D．ac＝－9 (3)(多选)下列关于等比数列{an}的命题中是真命题的是(　　) A.若{an}是等比数列，则a＝anan＋2 B．若a＝an