4.2.1.2 等差数列的性质及应用（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 [学习目标]　1.运用等差数列的概念及通项公式，能推导出等差数列的性质，并能简单应用.2.运用等差数列的概念及通项公式，能解决简单的数学问题与实际问题． 知识点　等差数列的性质 [问题导引1]　等差数列的单调性如何判定？ 提示：　在一个等差数列中，若d>0，则该数列为递增数列；若d＝0，则该数列为常数列；若d<0，则该数列为递减数列． [问题导引2]　若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap成立吗？ 提示：　不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a1＋a2＝a3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a1＋a2＝a3. 1．等差数列的性质 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m ，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列 性质5 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0 性质6 在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝… 2.由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有： 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 类型一　等差数列的性质应用 (链接教材P17 例5)(1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．15 B．30 C．5 D．10 (2)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 (3)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 022＋b2 022＝(　　) A．4 039 B．4 041 C．4 043 D．4 045 解析：　(1)因为数列{an}为等差数列， 由a2＋a4＝6知：2a3＝6，所以a3＝3，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×3＝15.故选A. (2)由等差数列的性质，得 a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8， 又d≠0，所以m＝8.故选B. (3)数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 022＋b2 022＝1＋2 021×2＝4 043.故选C. 答案：　(1)A　(2)B　(3)C 学生用书第15页 等差数列运算的两种常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. [注意]　对于新构造的数列，要注意判断其首项和公差． 即时练1.(2022·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 A　[因为{an}是等差数列，所以2a9＝a5＋a13，故a13＝2a9－a5＝2×6－3＝9.故选A.] 即时练2.(2022·宁夏石嘴山市第三中学高二月考)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝π，那么cos (a3＋a5)＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[因为等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝π， 所以a1＋a4＋a7＝3a4＝π，即a4＝π，所以a3＋a5＝2a4＝π， 故cos (a3＋a5)＝cos π＝－cos ＝－.故选B.] 即时练3.(2022·四川省广元市诊断)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是(　　) A．1 B． C． D． C　[设方程x2－2x＋m＝0的两个根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0(m≠n)的两个根分别为x3，x4，则由根与系数的关系知x1＋x2＝x3＋x4＝2. 由题设及等差数列的性质得，方程x2－