第2章 第6节 幂函数及基本初等函数的应用（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　 1　通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2　运用函数建立模型，解决简单的实际问题. 知识梳理 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像(如下图) 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． 3．幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1，1)． (2)如果α>0，那么幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数． (3)如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴． 学霸笔记 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x－是幂函数．(　√　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　√　) (3)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (4)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　√　) 2．(必修第二册·P37B3改编)下列函数是奇函数的是(　C　) A．f(x)＝x2＋x－2 B．f(x)＝x＋3x C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝2x4＋x－ 3.幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　C　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．(必修第二册·P36B1改编)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(8，2)，则f(－27)的值为(　B　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 5．(必修第二册·P36A1改编)已知幂函数的图像经过点(9，3)，则这个幂函数的解析式为f(x)＝x. 　幂函数的图像 自主练通 1．函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　B　) 解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示)．将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B． 2．(2021·辽宁沈阳月考)若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图像不经过坐标原点，则实数m的取值为(　B　) A． B．－ C．－1 D．1 解析：由题意有3m2－2m＝1，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，f(x)＝x3，函数图像过原点，不合题意；当m＝－时，f(x)＝x－1，函数图像不过原点，符合题意．故m＝－. 3．作出下列函数的图像． (1)f(x)＝x4； (2)f(x)＝x； (3)f(x)＝x－3； (4)f(x)＝x－4. 解：(1)(2)(3)(4)的图像如图①②③④所示， 方　法　规　律 对于幂函数图像的掌握，需记住：在第一象限内，三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域，根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 　幂函数的性质 多维贯通 　比较大小问题 (1)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　D　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c (2)(2021·山东潍坊模拟)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪． 解析：(1)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝.因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c. (2)不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 方　法　规　律 利用幂函数的单调性比较大小的注意点 (1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式； (2)构造的幂函数，要分析其单调性； (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到； (4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小． 练1　已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　A　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：∵a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5，幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴b<a<c.故选A．