第2章 第5节 对数与对数函数&微专题系列7 数学探究——指数式与对数式大小的比较（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　对数与对数函数 1　理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2　了解对数函数的概念及其单调性与特殊点. 3　知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 知识梳理 1．对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (2)对数的性质 loga1＝0；logaa＝1；a＝N；logaan＝n(a>0，且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝ (a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)． 3．对数函数的图像与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图像 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 学霸笔记 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)． (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)． (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． 4．对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　×　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　×　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　) 2．(多选)(必修第二册·P29B2改编)下列计算结果正确的有(　AC　) A．lg ＋lg ＋lg 100＝6 B．log7－log7 ＝1 C．2log183＋log182＝1 D．(lg 5)2＋lg 2×lg 25＋(lg 2)2＝2 3．已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　D　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图所示，则下列结论成立的是(　BC　) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 5．(必修第二册·P29C1改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx，当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝log2(－x)；若f(x)≤2，则x的取值范围是[－4，0]∪． 6．(必修第二册·P29B7改编)已知函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f()的值． 解：(1)由解得－1<x<1. 所以f(x)的定义域为(－1，1)． (2)函数f(x)的定义域为(－1，1)．当x∈(－1，1)时，－x∈(－1，1)．因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)． 所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)是偶函数． (3)f＝log2＋log2＝log2＝－1. 　对数运算 自主练通 1．(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2．(2021·甘肃兰州期中)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　B　) A． B．10 C．20 D．100 解析：因为2a＝5b＝m， 所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm