第2章 第4节 指数与指数函数&微专题系列6 数学探究——与指数函数有关的同构式问题（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　指数与指数函数 1　了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2　了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3　能画具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识梳理 1．根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． 2．分数指数幂 (1)a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；a－s＝(s是正分数，且a≠0)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈Q. 3．指数函数的图像与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 学霸笔记 1．图像问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， )． (2)y＝ax与y＝()x的图像关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图像呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图像呈下降趋势．简记：撇增捺减． 2．指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax (2)y＝bx (3)y＝cx (4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　) 2．(多选)(必修第二册·P13A1，A3，B2改编)下列化简结果正确的是(　AD　) A．[(a3)－1×a4]－1＝a－1 B．×(a－1×b)－3＝a5b－1 C．(0<a<1)＝a－a D．÷×＝－ 3．(必修第二册·P14B3改编)下列大小关系正确的是(　C　) A．<34< B．<<34 C．<<34 D．<34< 4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　D　) A． B． C．或2 D．或 5．(必修第二册·P51A10改编)函数y＝ 的定义域为[0，＋∞). 　指数幂的运算 自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　D　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a)4＝，故D正确． 2．0.027－(－)－2＋(2)－(－1)0＝－45． 解析：原式＝－49＋－1＝－50＋＋＝－45. 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝3. 解析：由题设可得2＝14，2＝7，2＝4，则2＝＝2，∴2＝2×4＝23，∴－＋＝3. 方　法　规　律 指数幂运算 　指数函数的图像及应用 讲练融通 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　B　) (2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为(0，1)． 解析：(1)y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0，1)． 变式　将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图①，两图像只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图②，要使两个图像有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是(0，)． 方　法　规　律 指数函数图像的应用问题的求解方法 (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． (2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断． 练1　已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(