第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　函数的奇偶性与周期性 1　结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义. 2　结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义. 知识梳理 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．图像特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 3．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 学霸笔记 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．函数图像的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图像关于点(b，0)中心对称． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　×　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　×　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(2，0)中心对称．(　√　) 2．(多选)(必修第一册·P109A2改编)下列函数为偶函数的是(　BC　) A．f(x)＝x＋x3 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．f(x)＝，x∈[－1，2] 3．关于函数f(x)＝ ＋ 与h(x)＝ ＋ 的奇偶性，下列说法正确的是(　D　) A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 4．(必修第一册·P111C2改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　C　) A．(－2，0)　 B．(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)∪(0，2) 5．(必修第一册·P133B5改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋2x． 6．我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为“函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数”，则函数f(x)＝x3－3x2图像的对称中心是(1，－2). 　函数的奇偶性 自主练通 　函数奇偶性的判断 1．(2021·广东肇庆模拟)下列函数为偶函数的是(　D　) A．y＝sin x B．y＝ln(－x) C．y＝e