第2章 第2节函数的单调性与最值（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

　函数的单调性与最值 1　借助图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2　理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 知识梳理 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，对任意x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在I上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在I上是减函数 图象描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (1)单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2 ①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2．单调区间的定义 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 3．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D： 如果对于任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则f(x)的最大值为f(x0)，x0为f(x)的最大值点；如果对于任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则f(x)的最小值为f(x0)，x0为f(x)的最小值点． 学霸笔记 1．单调性的几个结论 在公共定义域内， (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)单调递增． (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)单调递减． (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增． (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减． (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．“对勾函数y＝x＋(a>0)”的单调性 “对勾函数y＝x＋(a>0)”的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0， ]． 3．函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　×　) (4)所有的单调函数都有最值．(　×　) 2．下列函数中，在(－∞，＋∞)上是增函数的为(　B　) A．f(x)＝－3x＋2 B．f(x)＝3x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 3．(多选)(必修第一册·P103B1改编)已知函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，下列说法中一定正确的是(　AC　) A．f(0)<f(2) B．f(0)<f(3) C．f(x)在区间[－1，5]上有最大值，而且f(2)是最大值 D．f(x)在区间[－1，5]上的最小值是f(5) 4．(必修第一册·P133B4改编)已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是(　A　) A．a≤－3　 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥5 5．(必修第一册·P102A4改编)函数f(x)＝x＋ 的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)和(0，1)． 6．某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么当每辆车的月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元． 　判断函数单调性 讲练融通 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性． (1)解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(