2.3 全称量词命题与存在量词命题-2022-2023学年高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019必修第一册)

2.3 全称量词命题与存在量词命题 2.3 全称量词命题与存在量词命题 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 全称量词与全称量词命题 2 知识点2 存在量词与存在量词命题 3 知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定 5 知识点4 全称量词命题与存在量词命题的真假的判定 7 二、典型题型 7 题型1 根据全称量词命题的真假求参数 8 题型2 根据存在量词命题的真假求参数 9 三、难点题型 9 题型1 含有一个量词的命题的否定的应用 11 四、活学活用培优训练 18 一．基础知识点 知识点1 全称量词与全称量词命题：(1) “所有”“任意” “每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句． 例1 下列命题是全称量词命题的是（       ） A．每个四边形的内角和都是 B．一元二次方程不总有实数根 C．有一个偶数是素数 D．有些三角形是直角三角形 【答案】A 【分析】根据全称量词命题和存在量词的命题的定义即可得到答案． 【详解】解：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知，B，C，D是存在量词命题，A是全称量词命题． 故选：A． 例2 （多选题）下列命题中，是全称量词命题的有（       ） A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立 B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立 C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立 D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立 【答案】BC 【分析】根据各选项命题的描述，注意 “至少有一个”、“存在”、 “任意的”等关键词判断存在或全称量词命题. 【详解】A和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题， B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题， ∴B、C是全称量词命题. 故选：BC. 例3 用全称量词或存在量词的符号表述命题：“任意三角形都有外接圆.” 【答案】，都有一个外接圆. 【分析】直接利用全称量词的符号表述即得解. 【详解】解：表述为：，都有一个外接圆. 知识点2 存在量词与存在量词命题：(1) “存在”“有的” “有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M,_p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句． 例1 下列命题中是存在量词命题的是（       ） A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B．正方形都是平行四边形 C．空间中不相交的两条直线相互平行 D．存在大于等于9的实数 【答案】D 【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案. 【详解】选项A中，“所有的”是全称量词； 选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词； 选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词； 选项D中，“存在”是存在量词. 故选：D. 例2 （多选题）下列命题中为存在量词命题的是（       ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．∃x∈R，x2+x≤2 【答案】ACD 【分析】利用存在量词命题与全称量词命题的概念即可判断. 【详解】选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题. 故选：ACD. 例3 指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)“所有”是全称量词；， (2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解 (3)“存在”是存在量词；，， (4)“存在”是存在量词；， 【分析】利用全称量词，存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义求解即可 （1）“所有”是全称量词；，； （2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词；，，； （4）“存在”是存在量词；，． 知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定：语句p(x)是对语句p(x)的否定． 一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否