2.1 命题、定理、定义-2022-2023学年高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019必修第一册)

2.1 命题、定理、定义 2.1 命题、定理、定义 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 命题的定义与分类 2 知识点2 命题的结构及定理、定义 3 二、典型题型 4 题型1 命题的真假判断 5 二、活学活用培优训练 11 一．基础知识点 知识点1 命题的定义与分类：(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”． (3)分类：命题 例1 下列语句为命题的是（       ） A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确. 故选：D 例2 （多选题）下列语句不是命题的有（       ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 【答案】ABD 【分析】利用命题的概念逐项分析即得. 【详解】命题为可以判断真假的陈述句， 对于A，不能判断真假，故不是命题； 对于B，语句为疑问句，故不是命题； 对于C，是错误的，能判断真假，故是命题； 对于D，不能判断真假，故不是命题. 故选：ABD. 例3 下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？ （1）； （2）能被2和3整除； （3）存在一个，使； （4）至少有一个，能被2和3整除. 【答案】（1）（2）都不是命题，（3）（4）是命题；（1）与（3），（2）与（4）之间都没有关系. 【分析】（1）利用命题的定义判断得解； （2）利用命题和非命题的定义判断得解. 【详解】（1）（2）都不是命题，因为它们都不能判断真假；（3）（4）是命题，因为它们是能判断真假的陈述句. （1）不是命题，（3）是命题，它们没有关系；（2）不是命题，（4）是命题，它们没有关系. 知识点2 命题的结构及定理、定义： 1．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 2．定理与定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理． 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． (1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题． (2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质． 例1 已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________． 例2 把下列命题改写成“若p，则q”的形式． ①函数y＝2x＋1是一次函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. [解答]例1：一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧　[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”． :例2：①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数． ②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. 二．典型题型 题型1 命题的真假判断 解题技巧：(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 例1 下列命题为假命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】易知A，B，C均为真命题．对于D，当，，时，，但，D为假命题． 故选：D． 例2 （多选题）下列说法中，以下是真命题的是（       ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 【答案】ACD 【分析】举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】选项A：当时，成立.判断正确； 选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误； 选项C：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确； 选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD 例3 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，是任意实数，则； (2)若，是实数且，则； (3)若，则有两个不相等的实数根； (4)若有两个不相等的实数根，则实数． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)假命题