第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

班级 姓名 学号 分数 第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练） 核心知识1 空间向量及其运算 1．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确． 故选：B． 2．（2022·全国·高二专题练习）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】由平面向量基本定理得： 对于A选项，，所以，，三个向量共面； 对于B选项，，，，三个向量共面； 对于C选项，则存在实数使得， 则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面； 对于D选项，，所以三个向量共面； 故选：C． 3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，，，，，，所以． 故选：D 4．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______． 【答案】 【解析】是的中点， ． 故答案为：． 5．（2022·全国·高二专题练习）已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则__． 【答案】2 【解析】因为，且 ， 所以，解得 故答案为：2． 6．（2022·全国·高二专题练习）已知非零向量，，且不共面．若，则_______． 【答案】 【解析】不共面，故可看作空间向量的一组基底， ，故存在，使得， 即， ，解得：，则． 故答案为：． 7．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，．用向量法求证：四边形是梯形． 【解析】证明：连接． 点E，H分别是边，的中点，且，， ， 且． 又不在上，四边形是梯形． 8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且．求证：，，三点共线． 【解析】证明：取的中点，连接， 因为，分别为四面体的面与面的重心， 所以在上，在上， 设，，， 因为为的重心， 所以 ， 因为，所以， 所以， 因为为的重心， 所以， ∴． 又， ∴，，三点共线． 9．（2022·全国·高二专题练习）已知为空间9个点（如图），并且，，．，求证： （1）四点共面； （2）； （3）． 【解析】（1）因为，由共面向量的基本定理，可得是共面向量又因为有公共点，所以四点共面． （2）因为，则，所以． （3）由（1）及，可得，所以，即． 核心知识2 空间向量基本定理 10．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））空间四边形中，，，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以 所以， 故选：D． 11．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 ，故A错误； 由题可知，，， ∴， ∴，故B正确； 因为，， 则 ，故C错误，D正确． 故选：BD． 12．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【解析】（1）由向量的数量积的概念，可得． （2）因为， 所以， 即的长为． （3）以为， 所以 ． 13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 【解析】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴ ； （2） ． 14．（2022·全国·高二专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． （1）用向量表示向量； （2）求证：共面； （3）当为何值时，． 【解析】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 核心知识3 空间向量运算的坐标表示 15．（2022·全国·高二专题练习）在平行六面体中，底面是矩形，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标． （1）； （2）； （3）； （4）若为上点，且，写出点坐标； 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系．设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即同理得； （2）是的重心，（由三角形重心公式可得） （3）设，则，，又，