第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

班级 姓名 学号 分数 第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练） （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC．M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】连结ON． 因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，， 所以． 又，所以． ． 故选：C 2．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为， 则， 所以，． 故选：B 3．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（       ） A． B．5 C． D．5 【答案】A 【解析】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2， ∴•0，0， 又3×5×cos60°． ∵， ∴2＝（）2 222+2•229+16+25+15＝65， ∴||． 故选：A． 4．在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，向量在直线OB的法向量方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 设为平面BCD的一个法向量，则 ，即，令，则， 所以， 因为，所以点A到平面BCD的距离为 ． 故选：B． 5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC， ∵AB＝1，BC， ∴AC＝2， ∵， ∴BE＝DF， 则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1， ∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为， ∴， ∵， ∴ ， 则||， 即B与D之间距离为， 故选：C． 6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列判断： ①三棱锥的体积是定值与点位置无关； ②若异面直线与所成的角为，则的最大值为； ③无论点在线段的什么位置，都有； ④当点与线段的中点重合时，与异面． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】因为平面，所以点到平面的距离为， 设正方体的棱长为，则，即无论点在线段 的什么位置，三棱锥的体积为定值，故①正确； 建立如图所示的直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 设， ，则， 又，设异面直线与 所成角为， 则 ， 当时，有最大值，此时点是线段 的中点，故②正确， 又，所以，所以，故③正确； 当点与线段的中点重合时，，显然与均在平面 ，故④错误，所以①②③正确． 故选：C． 7．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（       ） A．平面平面； B．点到直线的距离； C．若二面角的平面角的余弦值为，则； D．点A到平面的距离为． 【答案】D 【解析】A选项，因为平面，平面， 所以CD， 故∠PBA即为与底面所成的角，， 因为， 所以PA=AB=1， 因为， 取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC， 则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°， 所以AC⊥CD， 又因为， 所以CD⊥平面PAC， 因为CD平面PCD， 所以平面平面PCD，A正确； 由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC， 因为平面PAC 所以CD⊥PC， 故点P到直线CD的距离即为PC的长度， 其中 由勾股定理得：，B正确； 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为， 则，令得：， 所以， 设二面角的平面角为，显然， 其中， 解得：或， 因为，所以，C正确； 过点A作AH⊥PC于点H， 由于CD⊥平面APC，平面APC， 所以AH⊥CD， 因为， 所以AH⊥平面PCD， 故AH即为点A到平面PCD的距离， 因为PA⊥AC， 所以，D选项错误 故选：D 8．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（ ） A． B． C． D