4.1.2 第1课时 乘法公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 学习目标　1.掌握乘法公式及其推广.2.会用乘法公式求相应事件的概率． 导语 学校在举行纪念“中国共产党成立100周年”的演讲比赛中共有30名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．甲同学对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每人抽到1号的概率不一样． 一、乘法公式的概念 问题　对两个事件A，B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？ 提示　由条件概率的定义，对于任意两个事件A，B， 若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 知识梳理 公式P(AB)＝P(A)P(B|A) ，其中P(A)>0，称为概率的乘法公式． 注意点： 根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 例1　(1)已知P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，求P(AB)； (2)已知P(B)＝0.2，P(A|B)＝0.15，P(B|A)＝0.3，求P(A)． 解　(1)P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.3×0.6＝0.18. (2)∵P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝0.2×0.15＝0.03， 而P(AB)＝P(A)·P(B|A)， ∴P(A)＝＝＝＝0.1. 反思感悟　概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． (2)分清P(A)，P(A|B)，直接利用公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)即可． 跟踪训练1　已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝，故选C. 二、利用乘法公式求概率 例2　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率． 解　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 延伸探究 1．在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． 解　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝. 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 2．在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率． 解　用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示两次取到的均是白球．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝. ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝. 反思感悟　应用乘法公式的关注点 (1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式． (2)用途：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率． 跟踪训练2　为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼．已知某学生通过第一关的概率为0.8，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5，则该同学两关均通过的概率为________． 答案　0.4 解析　设该学生通过第一关为事件A，通过第二关为事件B， 在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A)， 因为P(B|A)＝， 所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.5×0.8＝0.4. 三、乘法公式的综合应用 知识梳理 乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0， 则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)． 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 注意点： 若Ai(i＝1,2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)． 例3　设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率． 解　以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有 P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝＝. 反思感悟　该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝