3.3 第3课时 二项式定理的应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第3课时　二项式定理的应用 学习目标　1.会利用二项式定理解决整除问题和证明不等式.2.能利用二项式定理解决一些简单的问题． 一、整除问题 例1　(1)试求2 02110除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除． (1)解　2 02110＝(8×252＋5)10. ∵其展开式中除末项为510外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 02110除以8的余数与510除以8的余数相同． 又∵510＝255＝(3×8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴510除以8的余数为1，即2 02110除以8的余数也为1. (2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 跟踪训练1　已知n∈N＋，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除． 证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 二、证明不等式 例2　求证：2≤n<3(n∈N*)． 证明　因为当n＝1时，1＝2； 当n>1时，n＝1＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋C·＋…＋C·>2， 所以n≥2成立． 因为C·＝≤， 所以n＝1＋C·＋C·＋…＋C·≤1＋1＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋ ＝2＋＝2＋1－n－1 ＝3－n－1<3. 所以2≤n<3成立． 反思感悟　利用二项式定理可以证明不等式，注意观察原不等式的形式或通过构造两项和的形式，对原不等式进行恒等变形或适当应用放缩法，最终证明命题． 跟踪训练2　请利用二项式定理证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋)． 证明　当n≥3，n∈N＋时，3n＝(1＋2)n＝1＋C·2＋C·22＋…＋2n >1＋C·2＋C·22＝1＋2n＋·4＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1，所以结论成立． 三、求展开式的系数的和 例3　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k， 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 延伸探究　在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35. 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. 反思感悟　二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 跟踪训练3　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20. (1)求a2的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值； (3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值． 解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20， 令x－1＝t， 展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20. (1)a2＝C(－4)9＝－49×10. (2)