3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角 学习目标　1.掌握二项式系数和的性质.2.通过研究杨辉三角进一步研究二项式系数的特点． 一、 二项式系数的和 问题1　含有n个元素的集合有多少个子集？你是如何得到的？ 提示　2n；根据子集中元素的个数进行分类：0个元素的子集有C个，1个元素的子集有C个，2个元素的子集有C个…，于是我们得到所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C，在二项式定理(a＋b)n的展开式中，我们令a＝1，b＝1，即可得到C＋C＋C＋…＋C＝2n. 知识梳理 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 例1　已知二项式n(n∈N＋)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096. (1)求n(n∈N＋)的展开式中的常数项的值； (2)在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2＋n的展开式中，求x3项的系数的值． 解　(1)因为二项式n(n∈N＋)的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4 096， 所以C＋C＋…＋C＝2n＝4 096＝212，可得n＝12， n即12的展开式的通项是 Tk＋1＝C12－kk＝(k＝0,1,2,3，…，12)， 令＝0，得k＝3， 所以常数项是T4＝C9＝. (2)由(1)知n＝12， (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)2＋n，即(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14， (1＋x)3，(1＋x)4，…，(1＋x)14展开式中x3项的系数分别为：C，C，…，C， 所以(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)14的展开式中x3项的系数为， C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C … ＝C＋C＝C＝1 365. 反思感悟　解决此类问题的思路 (1)所有项二项式系数的和为2n，奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和相等，都等于2n－1. (2)结合组合数的性质求值． 跟踪训练1　已知二项式(2x＋1)n的展开式中共有6项． (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中含x2的项． 解　(1)由于二项展开式有6项，故n＝5. 所有二项式的系数和为25＝32. (2)二项式(2x＋1)5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k， 令5－k＝2，得k＝3. 故展开式中含x2的项为40x2. 二、与杨辉三角有关的问题 问题2　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 提示　1,7,21,35,35,21,7,1. 知识梳理 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 注意点： (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C； (2)增减性与最大值：增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 例2　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 答案　34 解析　由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3. 反思感悟　解决与杨辉三角有关问题的一般思路： (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系． (2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． (3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 跟踪训练2　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 答案　C 解析　根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22. 三、二项式系数性质的综合应用 例3　在n(n∈N＋)的展开式中所有二项式系数之和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解　(1)∵n(n∈N＋)的展开式中所有二项式系数之和为2n＝256，∴n＝8， 故展开式的通项公式为Tk＋1＝C·k· 令＝0，求得k＝2，故展开式中的常数项为C·＝. (2)由于n＝8，故当k＝4时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为T5＝C·4· .