3.3 第1课时 二项式定理（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

§3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 学习目标　1.能用基本计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 导语 艾萨克·牛顿Isaac Newton(1643—1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 一、二项式定理 问题1　观察下列几个等式： (a＋b)1＝a＋b； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 你能发现它们有什么样的规律吗？你能发现各等式右侧是如何形成的吗？ 提示　右侧展开式的项数比左侧的次数大1，展开式的系数具有一定的对称性，各式均按照a的降幂顺序或者b的升幂顺序进行排列的，各项的系数与组合数有某种关系；以(a＋b)2为例：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 问题2　你能根据问题1的分析，写出(a＋b)5的展开式吗？ 提示　(a＋b)5＝Ca5＋Ca4b＋Ca3b2＋Ca2b3＋Cab4＋Cb5. 知识梳理 1．二项式定理 一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn. 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中 Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数． 2．二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项称二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换． (4)Can－kbk表示的是第k＋1项． (5)二项式系数与二项展开式项的系数不同． 例1　求4的展开式． 解　方法一　4 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4 ＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. 反思感悟　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 跟踪训练1　求5的展开式． 解　方法一　5 ＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　5＝ ＝[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5] ＝32x5－120x2＋－＋－. 二、二项式定理的逆用 例2　(1)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解　原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n. (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C·(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝5＝(2x)5＝32x5. 延伸探究　若将本例(1)中式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果． 解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b， 可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 反思感悟　逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 跟踪训练2　化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋… ＋(－1)nC. 解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋