3.1.3 第3课时 组合数的应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第3课时　组合数的应用 学习目标　1.掌握具有限制条件的组合问题的解决方法.2.理解相同元素和不同元素的分组分配问题． 一、有条件限制的组合问题 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 解　(1)C－C＝825(种)． (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法． (3)分两类： 第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法， 第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法． 反思感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 跟踪训练1　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210种 B．420种 C．56种 D．22种 答案　A 解析　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)． (2)为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　) A．720 B．768 C．810 D．816 答案　B 解析　根据题意知，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有A＝840(种)， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加，朗诵顺序有A＝24(种)， 则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，朗诵顺序有840－24＝816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有CAA＝48(种)， 则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)． 二、不同元素的分组分配问题 例2　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 解　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为 ＝＝15. (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为 CCC＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为 ＝＝15. 延伸探究 1．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 解　在本例(2)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法． 2．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？ 解　可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有CCC＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有CCCA＝360(种)方法；③“1,1，4型”，有CA＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法． 反思感悟　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 跟踪训练2　将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 解　(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法． (3)方法一　先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144(种)放法． 方法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144