3.1.3 第2课时 组合数的性质（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第2课时　组合数的性质 学习目标　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56. 知识梳理 组合数的性质1：C＝C. 注意点： (1)“互补性”； (2)等式两边下标相同，上标的和等于下标． 例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________. 答案　2 022　 解析　C＝C＝2 022，C·C＝C·C＝. (2)(多选)若C＝C(n∈N＋)，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　BD 解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7. 反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　) A．1 B．10 C．11 D．55 答案　C 解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11， C＝C＝C＝11. (2)若C＝C，则C＝____________. 答案　28 解析　由C＝C， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)，故C＝28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，C＝C＋C. 知识梳理 组合数的性质2：C＋C＝C. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想． 例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　) A．1 B．m C．m＋1 D．0 答案　D 解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　D 解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝… ＝C＋C ＝C＝C. 延伸探究　若将式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？ 解　C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1 … ＝C＋C－1＝C－1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　C＝C＋C＝C， ∴n＋1＝7＋8，n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 答案　B 解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C. 三、组合数公式的应用 例3　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 解　(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法． (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法． 若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法． 反思感悟　在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 跟踪训练3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？ (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？ 解　(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)． 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)． (3)选取3件的种数有C，因此有选取方法 C－C＝6 090(种)． 所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 1．知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解； (2)组合数在实际问题中