3.1.3 第1课时 组合与组合数（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 学习目标　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.3.会利用组合的知识解决一些简单的组合问题． 导语 同学们，前面我们学习了排列的知识，我们知道排列的特点是元素的互异性和有序性，尤其是对顺序有特别的要求，但生活中也有这样的例子，比如班级中每个小组的成员，不管大家做到哪一个位置，都是属于同一个小组，比如本班的全体学生，不管大家身在何处，大家都属于同一个班级，听起来是不是和集合的元素有相同之处，这就是我们本节课要研究的问题． 一、组合的概念 问题1　结合之前所学，请同学们写出集合{1,2,3,4}含有两个元素的所有子集． 提示　{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}． 知识梳理 组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 注意点： (1)组合与排列的相同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象． (2)组合与排列的不同点：排列问题中对象有序，组合问题中对象无序． 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 反思感悟　排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 跟踪训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 解　(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题． (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题． (3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． 二、组合数公式的计算 问题2　小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，他有多少种不同的选择方案？ 提示　A；完成上述过程，实际上他是分两步来完成：先选再排，第一步先从3所大学选择2所，有x种不同的方案，然后将选出的学校进行全排列，有A种不同的方法，根据分步乘法计数原理可知x·A＝A. 知识梳理 1．组合数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 (1)A＝CA. (2)C＝＝＝. (3) 规定C＝1. 注意点： (1)C中m≤n，且 m，n∈N＋； (2)组合数公式的展开式分子是从n开始m个正整数相乘，分母是m的阶乘． 例2　(1)已知C＝10，则n的值为(　　) A．10 B．5 C．3 D．2 答案　B 解析　由C＝＝10，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍)． (2)计算：3C－2C＝________. 答案　148 解析　3C－2C＝3×－2×＝148. (3)证明：C＝C. 证明　右边＝C＝·＝＝C＝左边． 所以原式成立． 反思感悟　(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别． (2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去． 跟踪训练2　(1)计算：C－C·A； (2)证明：mC＝nC. (1)解　原式＝C－A＝－7×6×5 ＝210－210＝0. (2)证明　mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. 三、组合数公式的简单应用 例3　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解　(1)由于上场