3.1.2 第2课时 排列数的应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽 (1)

第2课时　排列数的应用 学习目标　1.掌握基本计数原理与排列的关系.2.能利用排列数公式解决简单的实际问题． 一、可转化为排列的问题 例1　(教材第12页例3改编)用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 解　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有A＝100×99＝9 900(个)． (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是0，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有A＝3×2×1＝6(个)． (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有A＝5×4×3×2＝120(个)分配方案． 反思感悟　要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么． 跟踪训练1　(1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　) A．15 B．30 C．12 D．36 答案　B 解析　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有A＝6×5＝30(种)． (2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法． 答案　6 解析　共有A＝3×2×1＝6(种)不同的排法． 二、基本计数原理与排列知识的有机结合 例2　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解　(1)方法一　把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法． 方法二　把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法． 方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种， 所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法． (3)把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法． (4)间接法． 总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． 反思感悟　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树形图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行． 跟踪训练2　若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 答案　C 解析　由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有A个； 第二类，十位数字取6，有A个； 第三类，十位数字取5，有A个； 第四类，十位数字取4，有A个． 所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40. 三、数字中的排列问题 例3　(教材第12页例5,6改编)用0,1,2,3,4五个数字： (1)可组