3.1.2 第1课时 排列与排列数（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 学习目标　1.理解并掌握排列的概念.2.能用基本计数原理推导排列数公式.3.理解并掌握排列数公式． 导语 同学们，上节课我们提到汽车牌照号码的问题，如果我们对汽车牌照号码增加一些特殊的规定，如果每一个汽车牌照必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字组成，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，字母在前，数字在后，当然我们可以用分步乘法计数原理解决这个问题，这其实就是我们今天要研究的排列问题． 一、排列概念的理解 问题1　思考下列三个问题，指出它们有什么样的共同特征： ①从红、黄、蓝三种颜色中选出两种给地图上的北京市和天津市上色，有多少种不同的着色方案；②从1,2,3,4这四个数字中，选出三个不同的数字排成一个三位数，一共可以得到多少个不同的三位数；③6名同学站成一排照相，有多少种不同的排法． 提示　从不同的元素中选出几个元素，按照一定的顺序排成一列． 知识梳理 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 注意点： 排列的特点：互异性、有序性． 例1　判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 解　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题． 反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”检验取出的m个元素是否重复． (2)“排”检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 跟踪训练1　判断下列问题是否是排列问题，并说明理由． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解　(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是． 理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题． 二、排列数 知识梳理 排列数的定义 (1)从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． (2)A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N＋，并且m≤n. 注意点： (1) 乘积是m个连续正整数的乘积． (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1. 例2　(教材P10例1改编)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算A. 解　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24. 画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 延伸探究　对本例，若加上限制条件：D不能在“排头”(即每个排列的最左端不是D)，这样的排列有几个？ 解　由例2的树形图可知这样的排列共有24－6＝18(个)． 反思感悟　利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，