3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第2课时　基本计数原理的应用 学习目标　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数． 导语 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容，这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数，号码的个数是如何进行计算的呢？ 一、组数问题 例1　用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？ 解　完成这件事可分为三类： 第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法； 第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法； 第三步，选取十位上的数字，有3种选法． 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48. 第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法； 第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法； 第三步，选取十位上的数字，有3种选法． 由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36. 第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类． 对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)． 反思感悟　常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 跟踪训练1　(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 答案　B 解析　由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种偶奇奇的情况：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B. (2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 答案　B 解析　0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 二、抽取与分配问题 例2　(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 答案　C 解析　方法一　(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)． 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)． 方法二　(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案． (2)甲、乙、丙、三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________． 答案　2 解析　不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有2×1×1＝2(种)． 延伸探究　若将“甲、乙、丙、三人”改为“甲、乙、丙、丁四人”，其它条件不变，则有多少种不同的取法？ 解　不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有一种选择，所以不同的取法共有3×3×1×1＝9(种)． 反思感悟　选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般