3.1.1 第1课时 基本计数原理（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

§3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 学习目标　1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 导语 同学们，在我们日常生活中处处离不开选择，今天，我们想关注的是对于出现相同结果的原因会有多少种，比如说，从我们教室到教学楼外，我们有几个楼梯可以选择，或者我们先从哪个楼梯到达下一层，然后又可以做出选择；比如说，我们去餐厅就餐，我们有多少个窗口可以选择，或者说，我们先在哪几个窗口买馒头，再到哪几个窗口买菜等等，这就是我们今天要研究的基本计数原理． 一、分类加法计数原理 问题1　某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选． 知识梳理 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 注意点： (1)每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件． (2)每种情况内任两种方式都不同时存在． (3)不同情况之间没有相同方式存在． 例1　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 答案　A 解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)． (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 答案　36 解析　方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 延伸探究　若例1(1)条件不变，结论变为“则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线”有(　　) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 答案　D 解析　因为双曲线的焦点在x轴上，所以m>0，n>0，当m＝1时，n＝1,2,3,4；当m＝2时，n＝1,2,3,4；当m＝3时，n＝1,2,3,4，当m＝4时，n＝1,2,3,4，即所求的椭圆共有4＋4＋4＋4＝16(个)． 反思感悟　(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”． (2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程． 跟踪训练1　(1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种． 答案　8 解析　任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案： 第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法； 第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法． 由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)． (2)若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个． 答案　15 解析　将满足条件x，y∈N＋，且x＋y≤6的x的值进行分类： 当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个； 当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个； 当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个； 当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个； 当x＝5时，y可取的值为1，共1个． 即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个， 由分类加法计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)． 二、分步乘法计数原理 问题2　如果该全国人大代表明天要先从济南前往天津，然后前往北京参加会议，他计划乘坐飞机前往天津，此时有3个航班供他选择，然后乘坐高铁前往北京，此时有4个高铁班次供他选择，那么该代表从济南到北京共有多少种不同的走法？ 提示　该代表共有3×4＝12(种)不同的走法． 知识梳理 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同