第三章 排列、组合与二项式定理 章末复习课（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

章末复习课 一、两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　) A．484 B．472 C．252 D．232 答案　B 解析　根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种)． (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 解　方法一　设A，B代表2位老师傅． A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)， A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)， A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)， A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)， A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)， A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)， 所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)， 5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)， 所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法． 方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)， 4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)， 4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)， 所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法． 反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么． (2)思考如何完成这件事． (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类． (4)选择计数原理进行计算． 跟踪训练1　(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答) 答案　60 解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类． 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2A个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有C·C个． 所以满足条件的三位数共有 A＋2A＋C·C＝60(个)． (2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种． 答案　30 解析　从4人中选出两个人作为一个元素有C种方案，同其他两个元素在三个位置上排列有CA＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛，共有A种方案，所以不同的参赛方案共有36－6＝30(种)． 二、排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． 例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序． (2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝