第四章 4.2.1 第2课时 等差数列的判定与实际应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第2课时　等差数列的判定与实际应用 学习目标　1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列的判断与证明方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 导语 当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？ 一、等差数列的通项公式与函数的关系 问题1　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 知识梳理　 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d_； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 例1　已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝________. 答案　0 解析　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0. 反思感悟　熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 跟踪训练1　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 答案　B 解析　∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. ∴数列中第一个负数项是第8项． 二、等差数列的判定与证明 问题2　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？ 提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性． 知识梳理 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 例2　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 解　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝， 即是首项为＝， 公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝， ∴an＝，n∈N*. 延伸探究　将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　bn＋1－bn＝－ ＝－＝－ ＝＝. 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)解　由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N*. 反思感悟　判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 跟踪训练2　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵－ ＝＝， ∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列． (2)解　由(1)知bn＝n＋， ∴an－1＝， ∴an＝. 三、等差数列的实际应用 例3　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解　设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若a