第四章 4.3.1 第3课时 等比数列的性质（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第3课时　等比数列的性质 学习目标　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 一、由等比数列构造新等比数列 问题1　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 符号 表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) ＝q(n≥2，n∈N*) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性 质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列 等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列 等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 知识梳理　 1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． 例1　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　) A. B. C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1} 答案　D 解析　取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质． 反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况． 跟踪训练1　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案　D 解析　因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)， 则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义， 数列{An}(n＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)． 二、等比数列中任意两项之间的关系 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 知识梳理　 等比数列通项公式的推广和变形an＝amqn－m. 例2　在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. 解　设等比数列{an}的公比为q. (1)由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝， 所以n－8＝1，所以n＝9. (2)由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8. 反思感悟　等比数列的通项公式及变形