第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的判定与简单应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第2课时　等比数列的判定与简单应用 学习目标　 1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中项的设法． 一、等比数列的通项公式与函数的关系 问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 知识梳理　 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 例1　已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件． 延伸探究　 1．若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{－1n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件． 2．设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得或 此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列，可得或 所以“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件． 反思感悟　判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 跟踪训练1　等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于(　　) A. B. C. D．6 答案　A 解析　∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， ∴q13＝＝， 则＝＝＝. 二、等比数列的判定与证明 问题2　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？ 提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性． 知识梳理　 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注意点：用定义法证明时，和中的n的范围不同． 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． (1)解　由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， ∴a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， 所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{a