第四章 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习目标　1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质． 一、等差数列前n项和的实际应用 问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题． 提示　我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等． 例1　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)． 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5， a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)． 反思感悟　(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现． 跟踪训练1　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)． 答案　 解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺． 二、等差数列中前n项和的最值问题 问题2　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn. 知识梳理 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 注意点：(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 解　方法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 由得 又因为n∈N*， 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法三　因为S8＝S18， 所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值．由a13＋a14＝0，得 a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn＝An2＋Bn. 因为S8＝S18，a1＝25， 所以二次函数图象的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值． 由题意得 解得 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和； ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列