第四章 4.2.1 第3课时 等差数列的性质（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第3课时　等差数列的性质 学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算． 导语 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质． 一、由等差数列构造新等差数列 问题1　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示　设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝d. 知识梳理　 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 例1　有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 答案　B 解析　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16. 反思感悟　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数． 跟踪训练1　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． 答案　12n－1　25 解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 二、等差数列中任意两项之间的关系 问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 知识梳理 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 注意点：若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：＝，＝，＝－1，故an＋m＝0)． 例2　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. 反思感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． 跟踪训练2　已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________. 答案　8 解析　方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d＝＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8. 方法二　由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 三、等差数列中多项之间的关系 问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1