第四章 4.1 第2课时 数列的递推公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第2课时　数列的递推公式 学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式． 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1. 一、数列通项公式的简单应用 例1　(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 解　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)， 故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项． 反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 解　(1)由题意知q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)， ∴q＝±3. (2)当q＝3时，an＝3n. 显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项． 二、数列的递推公式 问题1　如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 提示　其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1. 知识梳理 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项． 例2　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 021. 解　a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， … ∴{an}是周期为4的数列， ∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 跟踪训练2　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 三、由递推公式求通项公式 例3　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为 an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－ ＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C. D. 答案　D 解析　由题意