第四章 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

§4.3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 导语 某种细胞每隔一定时间就会分裂一次，每个细胞分裂成两个细胞，随着分裂次数的增加，细胞的个数可以组成的数列是1,2,4,8,16，……，这类数列有何特征呢？ 一、等比数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98. ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②＝，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律． 知识梳理 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 注意点：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)10,10,10,10,10，…； (3)，2，3，4，…； (4)1,0,1,0,1,0，…； (5)1，－4,16，－64,256，…. 解　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4. 反思感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 跟踪训练1　以下数列中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　A 解析　①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； ②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③当a＝0时，不是等比数列； ④该数列符合等比数列的定义，是等比数列． 二、等比中项 问题2　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x,1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 知识梳理 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意点：①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 例2　(1)4与9的等比中项为________． (2)－1和－9的等比中项为________． 答案　(1)±6　(2)±3 解析　(1)由题意，得4与9的等比中项为±＝±6. (2)－1和－9的等比中项为±＝±3. 反思感悟　(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)． 跟踪训练2　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　) A．± B. C．1 D．±1 答案　D 解析　因为1，a,3成等差数列，1，b,