第06讲 二次函数的图象与性质-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第06讲 二次函数的图象与性质 ( 目标导航 ) 课程标准 1.会用描点法画出二次函数的图象。 2.知道二次函数的图象是一条抛物线，掌握二次函数的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值。 3.知道系数a、b、c的作用，能够运用对称轴和顶点坐标公式解决实际问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数y=x2和y=-x2的图象的画法 画二次函数的图象，一般用描点法，分列表、描点、连线三步，具体步骤如下： （1）列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取点，因为关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧点的纵坐标，对应写出左侧点的坐标即可，为了计算方便，横坐标一般取整数。 （2）描点：先将y轴右侧的点描出来，再按对称关系描出y轴左侧的对称点。 （3）连线：按照从左到右的顺序将这些点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到“两端”为止，而应到画成向两个方向延伸的形状。 提示： （1）因为函数y=x2和y=-x2的自变量的取值范围是全体实数。所以画图象时应以原点（0，0）为对称中心取值。 （2）描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，因为x可取一切实数，所以函数应是向两个方向无限延伸的。 知识点02 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 二次函数 y=x2 y=-x2 大致图象 图象形状 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0 知识点03 二次函数y=ax2的图象与性质 1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法画其图象。 2．二次函数y=ax2的性质： 二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0 知识点04 二次函数y=ax2+c的图象与性质 1．二次函数y=ax2的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 c>0 c<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，c） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值c 当x=0时，y有最大值c 2．二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系 (1）相同点： ①图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同，开口大小相同。 ②都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴。 ③都在 x =0处取得最值。 ④当 a >0时，图象开口向上，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而增大。当 a < 0时，图象开口向下，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而增大；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而减小。 (2）不同点： ①顶点坐标不同，分别是（0，c )，(0，0)。 ②最值不同，分别是 y = c 和 y =0。 (3）联系：二次函数 y = ax2 的图象与 y = ax2+ c 的图象可以通过平移互相得到。具体如下： ①当 c >0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c ； ②当 c < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c 。 知识点05 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 1．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 h>0 h<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，0） 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小；当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大；当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值0 当x=h时，y有最大值0 2．二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的关系 （1）抛物线y=a（x-h）2与y=ax2的形状、开口方向相同，都是轴