专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法 【考法一、二次函数与系数之间关系】 例．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．如图，抛物线经过点．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，则；④方程的解为，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 变式4．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【考法二、二次函数与一次函数系数关系】 例．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．函数与的图象可能是（   ） A．    B．   C．   D．   变式2．已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【考法三、二次函数与反比例函数系数关系】 例．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 变式1．二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 变式2．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【课后练习】 1．已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C．D． 2．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③，是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 7．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为；④若m是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有 ． 8．如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 9．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数图像与系数之间关系的三种考法 【考法一、二次函数与系数之间关系】 例．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．关键是掌握二次函数的性质．根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与0的大小关系，然后将由对称轴可知，图象过代入二次函数中可得，再由图象与轴有两个交点及系数的特点即可判断． 【详解】解：①由图可知： 故①正确； ②由题意可知： ，故②正确； ③对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为． 与轴的另一个交点坐标为， 将代入，得， 故③正确； ④， 故④正确； ∴正确结论的个数是4个． 故选：D． 变式1．如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，；对称轴在原点的右边，，得到，，判断；结合图像，；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在原点的右边，， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上， ∴， ∴； 故①正确； 结合图像，； 故②错误； ∵抛物线与轴交于两点、，其中． ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵点，都在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故④正确； 设直线，根据题意，直线经过点和， 故直线与的交点为点和， 画草图如下， 故不等式的解集为． 故⑤正确； 故选D． 变式2．如图，抛物线经过点．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，则；④方程的解为，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，由二次函数的图象可判断出各个系数的符号，即可判断①，由对称轴即可判断②，根据增减性即可判断③；解一元二次方程即可判断④，从而得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴左侧， ，，， ，故①正确，符合题意； 抛物线经过点， 对称轴为直线， ， ， 把代入解析式得：， ，故②错误，不符合题意； 抛物线开口向下，，，，， ，故③正确，符合题意； ，， 方程可变为：，即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 变式3．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据到对称轴距离比较二次函数值大小求出，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为直线，点关于对称轴的对称的点为 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时；当，， ∴①错误，②正确； ∵时，开口向上，当时函数值随增大而增大， 当代入得，当时， ∴，即正确； 故故③正确； ∵当时二次函数有最低点， ∴当时函数值随增大而增大，此时记二次函数的图象为图形，存在直线与图形最多有一个交点， ∴时存在直线与图形有两个交点， ∵， ∴，故④正确． 综上②③④正确． 故答案为：②③④． 变式4．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤； 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴，∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入，得 ∵ ∴，∴ ∵，∴ 故⑤正确的 故答案为：③④⑤． 【考法二、二次函数与一次函数系数关系】 例．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 变式1．函数与的图象可能是（   ） A．    B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 变式2．已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：． 故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（，0）或点（1，a+b）． 在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0， ∵ ∴0， ∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项A不可能； 在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0， ∵ ∴0， ∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项B有可能； 在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项C不可能； 在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 【考法三、二次函数与反比例函数系数关系】 例．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时，∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时，∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时，∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 变式1．二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键； 分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可． 【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确； 当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确， 当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确， 故选：A． 变式2．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误；故选：A． 【课后练习】 1．已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是解题的关键；根据二次项系数决定抛物线的开口方向，，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解； 【详解】解：根据二次函数图像可知：，，则，二次函数交轴正半轴，故， 反比例函数过二，四象限，故； 则一次函数，， ，则 故一次函数过一，二，三象限；故选：C 2．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③，是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，， 所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得， ， 所以②正确； 抛物线的解析式为， ，是抛物线上两点， ， ，即， 所以③错误； 若关于x的一元二次方程没有实数根， ， ， ， ， ， 所以④正确； 抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确； 对于任意实数m，总有 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提． 3．如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于(-1,0)， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等． 4．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 6．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴， 故不正确； ∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵抛物线经过， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 联立（）（）得， 联立（）（）得， ∴， ∴， 故错误； ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故正确； 综上：正确的结论是， 故答案为：． 7．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为；④若m是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】利用待定系数法，二次函数的相纸，两点之间线段最短逐一判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交于点，， 对称轴为直线， ， 抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①正确； 对称轴为直线，开口向下， 时，y有最大值，最大值为， （m为任意实数） 即，故②正确； 对称轴交y轴的正半轴于点C， ， 由对称性可知， ，故③不正确； 抛物线与x轴交于点， ， ， ， ， ， m是方程的一个根， ， 当时，， 当时，， 若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算． 8．如图，二次函数（）的图象过点，且与x轴相交于，两点，其中，．现给出以下结论：①；②；③；④方程的解为，．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断出；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系；根据对称轴在y轴的右侧，可得a，b异号，从而可得；根据对称轴的位置判断①；根据顶点的纵坐标大于2判断②；根据图象经过点，且和时，判断③；将与联立，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴相交于，两点，其中，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点的纵坐标大于2， ∴， ∴，即，故②正确； ∵（）的图象过点， ∴， 由图象知，当时，，当时，， ∴，， 由，，得， ∴， 由，，得， ∴，故③正确； 由，，得， ∴， ∴， ∴方程的解为，．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及到抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点、与一元二次方程的关系等，有一定难度，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 9．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$