专题1.3 正方形的性质与判定【十大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题1.3 正方形的性质与判定【十大题型】 【北师大版】 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 1 【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 6 【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 11 【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 16 【题型5 判定正方形成立的条件】 25 【题型6 正方形判定的证明】 30 【题型7 正方形的判定与性质综合】 36 【题型8 探究正方形中的最值问题】 41 【题型9 正方形在坐标系中的运用】 46 【题型10 正方形中的多结论问题】 51 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【知识点2 正方形的性质】 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形， 求：（1）∠BAE的大小 （2）∠AED的大小． 【分析】（1）根据正方形的性质和正三角形的性质、以及角的和差关系可求∠ABE的度数，再根据等腰三角形的性质可求∠BAE的大小； （2）根据正方形的性质得到∠EAD＝15°，同理，∠ADE＝15°，再根据三角形内角和定理可求∠AED的大小． 【解答】解：（1）因为四边形ABCD为正方形， 所以AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°， 因为△EBC是正三角形， 所以∠EBC＝60°，BE＝BC＝EC， 所以∠ABE＝30°，AB＝BE， 所以∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣∠ABE）÷2＝150°÷2＝75°． （2）因为∠BAE＝75°， 所以∠EAD＝90°﹣∠EAB＝15°， 同理，∠ADE＝15°， 所以∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣15°＝150°． 【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由． 【分析】（1）利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）过F作FH⊥MN于H，根据正方形及直角三角形的性质可求出△ABE≌△EHF，根据三角形全等可求出BE＝HF，AB＝EH，通过等量代换可得CH＝FH，利用等腰直角三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD、AEFG都是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠1＝∠2，∴△ADG≌△ABE； （2）解：∠FCN＝45°， 理由如下： 过F作FH⊥MN于H，则∠EHF＝90°， ∵四边形ABCD、AEFG都是正方形， ∴AB＝BC，AE＝EF，∠ABE＝∠AEF＝90°， ∴∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°， ∴∠1＝∠5， 又∵∠ABE＝∠EHF＝90°， ∴△ABE≌△EHF， ∴BE＝HF，AB＝EH， ∴BC＝EH， ∴HC＝BE， ∴在Rt△CHF中，CH＝FH， ∴∠FCN＝∠CFH＝45°． 【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G． （1）求证：DE＝EF； （2）求∠DEF的度数． 【分析】（1）证明△BCE≌△DCE，可得结论； （2）结合（1）根据正方形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE， 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝ED， ∵BE＝EF， ∴DE＝EF； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝∠DCF＝90°， ∴∠F+∠FGC＝90°， ∵△BCE≌△DCE， ∴∠CBE＝∠CDE， ∵BE＝EF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠F＝∠CDE， ∵∠FGC＝∠DGE， ∴∠CDE+∠DGE＝90°， ∴∠DEF＝90°． 【变式1-3】（2022春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后