专题1.2 全等三角形相关辅助线五种方法 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题1.2 全等三角形相关辅助线五种方法 专项讲练 方法一：截长补短法 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE 例1．（2021·广西玉林市·八年级期末）在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．（1）求的度数；（2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，，∴为等边三角形， ∴， ∵，，∵，∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴，∵， 又∵，且，∴， 在与中，∴ ∴，∴，∴ 又∵，∴为等边三角形∴， 又∵，且，∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 变式1.（2022·四川南充·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析； 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，即 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．平分，． 在和中，，，，． ，．．，． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分，．在和中，， ．，． ，．，，． （2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知，．为等边三角形．，． ，．． ，为等边三角形．，． ，，即． 在和中，，．， ，． 方法二： 旋转法 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用。 【模型图示】 例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN 例2．（探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN． （1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程． （2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程． （3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：； 【详解】证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，= 将绕点A顺时针旋转，得到∴≌ ∴ ∵ 在和中 ∵，∴ （2）如图②，将绕点A顺时针旋转，得到 ∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD，= ∵绕点A顺时针旋转，得到∴≌ ∴ , ∵ 在和中 ∵，即：； （3）如图，∵，，，将绕点A顺时针旋转，得到 ∴≌∴ 在和中 ； 【点拨】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知