专题1.1 全等三角形七大基本模型 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题1.1 全等三角形七大基本模型 专项讲练 全等在初中数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就全等三角形中平移型全等、轴对称（翻折）型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、半角模型等经典模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型一：平移模型 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 例1．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE=3． 【分析】（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； （2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE． 【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF， ∵BF＝11，EC＝5，∴BF－EC＝6．∴BE＋CF＝6．∴BE＝3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 变式1. （2021•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 【思路】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证． 【解答过程】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D． 在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS）． 在（2），（3）中结论依然成立． 如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD， ∵AF∥DE，∴∠A＝∠D． 在△ACF和△DEB中，，∴△ACF≌△DEB（SAS）． 模型二：轴对称模型 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 例2．（2021·河南南阳市·八年级期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）78° 【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE． 又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF． （2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°． ∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 变式2. （2021·安徽·八年级期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN． 【解题思路】利用已知条件先证明△DBC≌△EBC，再证明△AMD≌△ANE，即可解答． 【解答过程】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C， 在△DBC和△EBC中 ∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE， ∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN， 在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN． 模型三：旋转模型 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 例3．（2021·