第2章 第5节 指数与指数函数&微专题系列6 数学探究——与指数函数有关的同构式问题（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　 1　了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2　了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3　能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识梳理 1.根式 n次 方根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 性质 当n是奇数时，a的n次方根为x＝ 当n是偶数时，正数的n次方根为x＝±，负数没有偶次方根 0的任意正整数次方根均为0，记作＝0 根式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有 关概念 正数的正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的 运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算. (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂. 3.指数函数定义、图象与性质 (1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 学霸笔记 1.图象问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， ). (2)y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称. (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势.简记：撇增捺减. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大. 进阶诊断 1.判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　×　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数.(　√　) 2.(多选)(必修第一册·P109T2改编)设a>0，则下列运算中不正确的是(　ABC　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa＝0 D．(a)4＝a 3.(必修第一册·P159T1改编)如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　B　) A．① B．② C．③ D．④ 4.若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　D　) A． B． C．或2 D．或 5.(必修第一册·P161T12改编)已知函数f(x)＝a－(a∈R)为奇函数，则a＝1. 　指数幂的运算 自主练通 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　D　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ 解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a)4＝，故D正确. 2.0.027－(－)－2＋(2)－(－1)0＝－45. 解析：原式＝－49＋－1＝－50＋＋＝－45. 3.已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝3. 解析：由题设可得2＝14，2＝7，2＝4，则2－＝＝2，∴2－＋＝2×4＝23，∴－＋＝3. 方　法　规　律 指数幂运算 　指数函数的图象及应用 讲练融通 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　B　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为(0，1). 解析：(1)y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减. (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示.由图象可得b的取值范围是(0，1). 变式　将本例(2)改为直线y＝2a与