第2章 第4节 幂函数与函数的应用(一)（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　幂函数与函数的应用(一) 1　通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2　运用函数建立模型，解决简单的实际问题． 知识梳理 1.概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.五个幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 单调性 增 x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 x∈(0，＋∞)减， x∈(－∞，0)减 公共点 都经过点(1，1) 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项. 3.三类常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c a≠0 学霸笔记 1.二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2.一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”. 进阶诊断 1.判断正误 (1)函数y＝x是幂函数.(　√　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　√　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　√　) (4)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(　√　) 2.(多选)(必修第一册·P91练习T2改编)下列两个值的大小关系正确的是(　ABD　) A．1.5>1.4 B．(－1.5)2>(－1.4)2 C．(－1.5)3>(－1.4)3 D．－>－ 3.幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　C　) A．3 B．4 C．5 D．6 4.(必修第一册·P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x. 5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130 t－5t2，则该函数的定义域是[0，26]. 6.(必修第一册·P95练习T2改编)某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，则这个广告牌面积最大时的长为l m，宽为l m. 　幂函数的图象与性质 自主练通 1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　) 解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示).将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B． 2.(2021·辽宁沈阳月考)若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为(　B　) A． B．－ C．－1 D．1 解析：由题意有3m2－2m＝1，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，f(x)＝x3，函数图象过原点，不合题意；当m＝－时，f(x)＝x－1，函数图象不过原点，符合题意.故m＝－. 3.若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　D　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝()>b＝()，因为y＝()x是减函数，所以a＝()<c＝()，所以b<a<c. 4.(2021·山东潍坊模拟)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(，). 解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 方　法　规　律 幂函数图象的应用注意点 (1)对于幂函数图象，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 　二次函数的实际应用 讲练融通 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(注：利